Question

设G是有限群,p是|G|的最小素因子, 若G的子群H满足[G:H]=p,如何证: H是G的正规子群?

Answer 1

从G到H在G中左配集的置换=S_p有一个同态，它的核K是H的一个子群，而且是G的正规子群。

|G/K|=[G:K]除尽p!还要同时除尽|G|，p是|G|最小的素因子，所以[G:K]=p，所以K=H。

发展历史

有限群论是群论的基础部分，也是群论中应用最为广泛的一个分支。历史上，抽象群论的许多概念起源于有限群论。近年来，随着有限群理论的迅速发展，其应用的日益增多，有限群论已经成为现代科技的数学基础之一，是一般科技工作者乐于掌握的一个数学工具。

有限群论无论是从理论本身还是从实际应用来说，都占有突出地位，它中的置换群、可解和非可解群、幂零群、以及群表示论等等，都是重要的研究对象，总之，其内容十分丰富而且庞大。