Question

等比数列与等差数列综合问题

Answer 1

上期为大家分享了等差数列前n项和的最值问题。我们都知道，有两类特殊的数列：等差数列和等比数列。那么当这两种数列结合在一起会产生什么样的问题呢？本期就为大家带来几道这样的题。

来看下面这道题

虽然这是一个等比数列，但是用到了一个概念叫做等差中项

利用等比数列的性质，把所有项都用a2和q表示，等号两边同时约去a2即可得到一个关于q的一元二次方程

解这个方程，又因为各项均为正数，舍去负值，即得最终答案

等差和等比这两种特殊的数列，可以通过取对数或者取指数幂这两种运算相互转化。所以有时候等比数列的题目会结合对数运算的性质来考查，比如下面这道题

同底的对数相加，底数不变，真数相乘

根据等比中项的性质，前五项的乘积只与第三项有关。最后再结合对数运算法则，即可得出最终答案

最后再来看一道这样的题，这是江苏宿迁2021期末考试题

我们需要先根据已知条件求出数列{an}的通项公式

最后把an化成以2为底指数幂的形式，方便我们进一步观察接下来该如何去做。

我们要求的是数列{an}前n项积的最值，an都是以2为底的指数幂，而同底数幂相乘，底数不变指数相加，最终转化成一个等差数列前n项和的最值问题

如何得出这个等差数列{bn}呢？很简单，对an取以2为底的对数即可

下面就看小伙伴们对上期的内容掌握如何了，求等差数列前n项和最值的两种方法，你都还记得吗？这里我们采用二次函数的方法，先求出前n项和Sn

接着判断开口方向和对称轴，就可以求出Sn的最大值。注意n取正整数即可

最后设数列{an}的前n项积为Tn，得出Tn与Sn的关系，就可以由Sn的最大值求出Tn的最大值