Question

高中数列求详解

数列an满足n ∈ N*，an > 0 且a1^3 + a2^3 + a3^3 + ... + an^3 = (a1 + a2 + a3 + ... + an)^2
设数列1 / [ an * a(n+2) ] 的前n项和为Sn，不等式Sn > log (a) (1-a) / 3 对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围。
正确答案是 0 < a < 1/2，我另开一个有人帮我解答了，谢谢

Answer 1

由an > 0 且a1^3 + a2^3 + a3^3 + ... + an^3 = (a1 + a2 + a3 + ... + an)^2，得a1^3 =a1^2,任意an > 0，得a1=1，同理得 a1^3 + a2^3 = (a1 + a2 )^2，代入a1得a2=2，以此类推可得a3=3，......a=n(计算出a3即可，后面的可不求)。
从而，Sn=1/1*3+1/[ a2 * a4 ] +......+1 / [ an * a(n+2) ] ，显然，由于an > 0 ，所以Sn为增函数，即S1<S2<......<Sn, 又已知不等式Sn > log (a) (1-a) / 3 对任意正整数n 恒成立，所以应有 log (a) (1-a) / 3 <S1=2/3（<Sn中最小的）.由此log (a) (1-a) / 3 可分为当a>1时为增函数由，log (a) (1-a) / 3 <2/ 3 得，1-a<a^2显然恒成立；0<a<1时为减函数，由log (a) (1-a) / 3 <2/ 3 得，1-a>a^2,解得0<a<(根号5-1)/2.
综上，可得a的取值范围 （0，根号5-1)/2）并上（1，正无穷）。