Question

为什么转置矩阵秩等于A的秩？

Answer 1

因为A乘A的秩等于A的秩，然后任意矩阵的转置矩阵的秩与原矩阵的秩相同。

A的秩 = A的行秩 = A的列秩，A^T 是 A 的行列互换，所以 r(A) = r(A^T)。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。

1、设A为m*n的矩阵；

2、那么AX=0的解肯定是 AT*AX=0的解（AT表示A的转置）；

3、至于AT*AX=0 左右两边乘以XT，（注意查看是否符合矩阵乘法，前后列行相等才能相乘）；

4、上一步化成（AX）T*AX=0，可知AX=0，那么意味着AT*AX=0的解必定也是AX=0的解；

5、两个方程有相同的解，那么n-r（ATA）=n-r(A) 。

扩展资料：

矩阵的秩变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

参考资料：百度百科-矩阵的秩