Question

圆周卷积和线性卷积的关系

Answer 1

圆周卷积和线性卷积的关系如下：

实际数字信号处理要求解线性卷积，而圆周卷积可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，适用于计算机快速计算的要求，故探究圆周卷积和线性卷积的关系，以及利用圆周卷积替代线性卷积而不失真的条件，尤为重要。

圆周卷积是周期卷积的取主值序列，而周期卷积是两有限长序列（设序列长分别为M和N）线性卷积以L为周期的周期延拓。线性卷积具有N+M-1个非零序列值。

因此，若周期卷积周期L<N+M-1，则线性卷积的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交叠起来，发生混淆。只有当L≥M+N-1时，才不至于发生交叠，此时周期卷积中的每一个周期L内，前N+M-1个序列值正是线性卷积的结果。综上，要使圆周卷积与线性卷积相等而不产生混淆，必要条件是：L≥N+M-1。

圆周卷积是线性卷积是线性卷积是线性卷积为周期的周期延拓序列的主值序列。

圆周卷积定理又称循环卷积定理。对于时域圆周卷积，其含义为：两序列离散傅里叶变换的乘积等于此两序列的圆周卷积的离散傅里叶变换。对于频域圆周卷积，其含义为：两序列乘积的离散傅里叶变换等于两序列离散傅里叶变换的圆周卷积除以圆周卷积列长的结果。