Question

在三角形ABC中,AB=^6+^2,角ACB=30度,则AC+BC的最大值是?

Answer 1

已知在△ABC中,AB=√2+√6,∠C=30°
设∠A>∠B,
过A点作AD⊥BC,交BC于D点.
在直角△ACD中
∠C=30°,AD=AC/2,CD=AC*cos30°=（√3/2）*AC
在直角△ABD中
BD^2=AB^2-AD^2
=（√2+√6）^2-（AC/2）^2
=8+4√3-AC^2/4
BD=√（8+4√3-AC^2/4）
BC=CD+BD=（√3/2）*AC+√（8+4√3-AC^2/4）
AC+BC
=AC+（√3/2）*AC+√（8+4√3-AC^2/4）
=（1+√3/2）*AC+√（8+4√3-AC^2/4）
设AC+BC=s,AC=x,则
s=(1+√3/2)x+√（8+4√3-x^2/4）
s-(1+√3/2)x=√（8+4√3-x^2/4）
[s-(1+√3/2)x]^2=8+4√3-x^2/4
(2+√3)x^2-(2+√3)sx+s^2-4(2+√3)=0
x^2-sx+[s^2-4(2+√3)]/(2+√3)=0
判别式△=(-s)^2-4*[s^2-4(2+√3)]/(2+√3)≥0
s^2≤(8+4√3)^2
因s>0
故s的最大值=8+4√3,
答：AC+BC的最大值=8+4√3