Question

已知方阵A满足A^2 = A,证明A=E或A不可逆

Answer 1

证明：
A^2 = A
A^2 -AE=0
A(A-E)=0
如果A可逆,也即A^(-1)存在且AA^(-1)=A^(-1)A=E,则上式左乘A^(-1)得
A^(-1)A(A-E)=A^(-1)*0
也即A-E=0,得A=E；
或者A可逆.
于是A=E或A不可逆成立.