Question

不定积分的计算

Answer 1

例如三种方式计算不定积分∫x√(x+2)dx。

• 主要内容：

通过根式换元、分项凑分以及分部积分法等相关知识，介绍不定积分∫x√(x+2)dx的三种计算方法和步骤。




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• 根式换元法：

设√(x+2)=t，则x=(t^2-2),代入得：

∫x√(x+2)dx

=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

=2∫t^2*(t^2-2)dt,

=2∫(t^4-2t^2)dt,

=2/5*t^5-4/3*t^3+C,

=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,




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• 根式部分凑分法

∫x√(x+2)dx

=∫x√(x+2)d(x+2),

=2/3∫xd(x+2)^(3/2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3∫(x+2)^(3/2)dx,

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3∫(x+2)^(3/2)d(x+2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,




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• 整式部分凑分法

A=∫x√(x+2)dx,

=(1/2)∫√(x+2)dx^2,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/2)∫x^2d√(x+2),

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫x^2/√(x+2)dx,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫[x(x+2)-2*(x+2)+4]/√(x+2)dx,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)A+1/2∫√(x+2)dx-∫dx/√(x+2),

即：(5/4)A=(1/2)x^2√(x+2)+1/2∫√(x+2)dx-2∫dx/2√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+2/5∫√(x+2)d(x+2)-8/5√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*√(x+2)+C。




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• 不定积分概念

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。




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• 不定积分的计算

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。



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Answer 2

不能，原因如下，我们知道等价无穷小只能是发生在乘和除的时候，加减的时候直接用等价无穷小替换往往会失去很重要的更高阶无穷小。而且这里的构架很明显的是一个加减
其次，你的加法极限趋于0
如果分开看，即两项分别取极限，左边那个显然是3x/x^3=3/x^2,极限是无穷大，那么表明f(x)/x^2是负无穷大，但是你不能知道负无穷大到什么样子才能有正无穷+负无穷=0，
负无穷可以是-1/x,-1/x^2,-1/x^3,....
即f(x)不定。
最好的解法是放在一起考虑，即整合出一个比值来，因为我们知道怎么判定比值的极限，就算是0/0,无穷/无穷的不定型，我们有罗比达在手，肯定能得到极限。

此题应该先通分，得到[sin3x+xf(x)]/x^3
即sin3x+xf(x)是x^3的高阶无穷小
sin3x+xf(x)~o(x^3)
假设f(x)有一定可导性
令分子=g(x)=sin3x+xf(x)
g(0)=0,分母=0
可以用罗比达
得到
分子=3cos3x+f(x)+xf'(x)
分母=3x^2
因为极限是0，而分母是趋于0，所以分子也趋于0
所以有3+f(0)=0, f(0)=-3
0/0，再罗比达
分子=-9sin3x+2f'(x)+xf''(x)
分母=6x
同理，x->0,分子->0,
所以有f'(0)=0
再来一次罗比达
分子=-27cos3x+3f''(x)+xf'''(x)
分母=6
因为极限为0，分子->0
所以有-27+3f''(0)=0
f''(0)=9
所以f(x)在0附近有三阶导数且f(0)=-3,f'(0)=0,f''(0)=9即可满足此极限为0