Question

双曲线怎么设三角函数

Answer 1

我们先来看看三角函数
三角函数的定义是，在单位圆C:x²+y²=1 中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为(cosθ,sinθ)。
若顺时针转过大小为θ的角那么这是一个负角。
转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积S=θ/2。
类比三角函数
对于双曲三角函数我们这样定义：在单位双曲线E:x²-y²=1 中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是θ/2（当P在第四象限时面积是负值），则P的坐标是(coshθ,sinhθ)。
其中，cosh称为双曲余弦函数，sinh称为双曲正弦函数。
同样，类似定义正切函数
双曲正切函数tanh=sinh / cosh
双曲余切函数coth=cosh / sinh

推导初等表达式
首先，P在双曲线上则其坐标满足双曲线方程，有cosh²θ-sinh²θ=1
P在x轴上的投影是P'，坐标为(coshθ,0)，原点是O。双曲线右支交x轴于A(1,0)。
曲边三角形OPA的面积等于三角形POP'面积减去曲边三角形APP'。
三角形POP'面积等于(sinhθcoshθ)/2，而曲边三角形APP'是双曲线和x轴及直线x=coshθ围成的图形。
双曲线E:x²-y²=1改写为函数（仅取第一象限部分分析）f(x)=y=√(x²-1)，则此时APP'的面积就是该函数从x=1到x=coshθ的定积分。
得到第二个关系：
θ/2=(sinhθcoshθ)/2-(from 1 to coshθ)∫f(x)dx

下面计算积分(from 1 to coshθ)∫f(x)dx
运用牛顿莱布尼兹公式，先计算不定积分求原函数。
∫√(x²-1)dx，令x=sec u，则dx=secutanudu，原积分转化为∫√(sec²u-1)secutanudu
sec²u-1=tan²u
原积分等于∫tanu·secu·tanudu，分部积分U=tanu，dV=secutanudu，V=sec u
∫tanu·secu·tanudu=tanusecu-∫sec²u·secudu
∵sec²u=tan²u+1
∴∫sec²u·secudu=tanusecu-∫secutan²udu
∫sec²u·secudu=tanusecu-∫sec³udu+∫secudu
移项合并两边的∫sec³udu，得到
∫sec³u=(tanusecu+∫secudu)/2
其中∫secudu=ln∣secu+tanu∣
代回原式子
∫tan²usecudu=tanusecu-(tanusecu+ln∣secu+tanu∣)/2
∫tan²usecudu=(tanusecu-ln∣secu+tanu∣)/2
x＝secu，则tanu=√(x²-1)，代回去，得到
∫√(x²-1)dx=[x√(x²-1)-ln(x+√(x²-1))]/2
变上限积分(from 1 to coshθ)∫f(x)dx=[coshθ√(cosh²θ-1)-ln(coshθ+√(cosh²θ-1))]/2

由cosh²θ-sinh²θ=1
化简(from 1 to coshθ)∫f(x)dx=[coshθsinhθ-ln（coshθ+sinhθ）]/2

θ/2=(sinhθcoshθ)/2-(from 1 to coshθ)∫f(x)dx
化简为θ=ln(coshθ+sinhθ)
coshθ+sinhθ＝e^θ

∴由两个关系式cosh²θ-sinh²θ=1
coshθ+sinhθ＝e^θ
推导出双曲余弦和双曲正弦的初等表达式
coshx=(e^x+e^-x)/2
sinhx=(e^x-e^-x)/2

下面是反函数的推导
sinhx在定义域内单调，它拥有反函数
令y=sinhx，则有2y=e^x-e^-x，同乘e^x，得到
e^2x-2ye^x-1=0，令e^x=t，t²-2yt-1=0
用二次方程求根公式t=y+√(y²+1)
x=ln[y+√(y²+1)]，x，y位置互换
反函数arsinhx=ln[x+√(x²+1)],定义域R
同理，coshx在单调区间[0,+∞）上有反函数，
反函数arcosh=ln[x+√(x²-1)]，定义域[1,+∞)

Answer 2

先找到焦点F的坐标（a，b）和双曲线上某点的坐标（c，d），再根据两点间的距离公式：s＝√[（a－c）²＋（b－d）²]，就可以求出双曲线上一点到焦点的距离。