Question

已知α，β是方程x²-2x-1=0的两个根，求α四次方+3β-5的值。

Answer 1

这题如果不是α^4 +3β-5,而是α^4 +12β-5，就简单多了！α，β是方程x²-2x-1=0的根，则α+β=2,α^2-2α-1=0,即α^2=2α+1，则α^4=（2α+1）^2=4α^2+4α+1=4(2α+1) +4α +1=12α +5
α^4 +3β-5=12α+3β=9α+3(α+β)=9α +6
x²-2x-1=0的两个根是1+根号2 ，1-根号2.
（1）若α=1+根号2，则α^4 +3β-5=9α +6=15 +9倍的根号2
（2）若α=1-根号2，则α^4 +3β-5=9α +6=15 -9倍的根号2

这题如果不是α^4 +3β-5,而是α^4 +12β-5，就简单多了！

Answer 2

x²-2x-1=0
所以x=1土√2，x^2=2x+1,
x^4=(2x+1)^2=4x^2+4x+1=8x+4+4x+1=12x+5,
由韦达定理，α+β=2,
所以α^4+3β-5=12α+3β=9α+6=9(1土√2)+6=15土9√2.