Question

二重积分的几何意义是什么？

Answer 1

二重积分的的几何意义本身就是计算空间几何体的体积。该几何体的底面显然是一个圆的内部（含圆的边界），该圆的表达式为x²+y²=3²，即圆的圆心为（0，0），半径为3；几何体的高度为z=f（x，y）=|x²+y²-4|。

几何体的高度z为正值，但（x²+y²-4）在区域D内并非都是正值：只有在x²+y²>2²这个圆的外部时，（x²+y²-4）>0而取正值；当在这个圆内部时，取负值。

所以原积分分解成为两个积分的和，就可以去掉绝对值符号：

原积分=∫∫(D1)（-x²-y²+4）dv+∫∫(D2)（x²+y²-4）dv，其中D1：x²+y²≤4；D2：4≤x²+y²≤9。然后利用极坐标积分的变换，就很容易求出积分的值了。

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C