Question

如何求n*[(1+1/n)^n-e] (n趋于无穷时的极限)？

Answer 1

考虑：
lim[x-->∞]x[(1+1/x)^x-e]
=lim[x-->∞][(1+1/x)^x-e]/x^(-1)
=-lim[x-->∞][(1+1/x)^x]'/x^(-2)
=-lim[x-->∞][ln(1+1/x)+x(-1/x^2)/(1+1/x)](1+1/x)^x/x^(-2)
=-lim[x-->∞][x^2ln(1+1/x)-x/(1+1/x)](1+1/x)^x
=-elim[x-->∞][ln(1+1/x)-1/(1+x)]/x^(-2)
=1/2elim[x-->∞][-1/(x^2+x)+1/(1+x)^2]/x^(-3)
=1/2elim[x-->∞]x^3[x^2+x-(1+x)^2]/[(x^2+x)(1+x)^2]
=-e/2lim[x-->∞][x^4+x^3]/[(x^2+x)(1+x)^2]
=-e/2
∴lim[n-->∞]n[(1+1/n)^n-e]=-e/2,12,