求使2 n -1为7的倍数的所有正整数n．
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因为2 3 =8≡1（mod7），所以对n按模3进行分类讨论．
（1）若n=3k，则
2 n -1=（2 3 ） k -1=8 k -1≡1 k -1=0（mod7）；
（2）若n=3k+1，则
2 n -1=2•（2 3 ） k -1=2•8 k -1
≡2•1 k -1=1（mod7）；
（3）若n=3k+2，则
2 n -1=2 2 •（2 3 ） k -1=4•8 k -1
≡4•1 k -1=3（mod7）．
所以，当且仅当3|n时，2 n -1为7的倍数．
（1）若n=3k，则
2 n -1=（2 3 ） k -1=8 k -1≡1 k -1=0（mod7）；
（2）若n=3k+1，则
2 n -1=2•（2 3 ） k -1=2•8 k -1
≡2•1 k -1=1（mod7）；
（3）若n=3k+2，则
2 n -1=2 2 •（2 3 ） k -1=4•8 k -1
≡4•1 k -1=3（mod7）．
所以，当且仅当3|n时，2 n -1为7的倍数．
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