Question

求使2 n -1为7的倍数的所有正整数n．

Answer 1

因为2 ³ =8≡1（mod7），所以对n按模3进行分类讨论．
（1）若n=3k，则
2 ⁿ -1=（2 ³ ） ^k -1=8 ^k -1≡1 ^k -1=0（mod7）；
（2）若n=3k+1，则
2 ⁿ -1=2•（2 ³ ） ^k -1=2•8 ^k -1
≡2•1 ^k -1=1（mod7）；
（3）若n=3k+2，则
2 ⁿ -1=2 ² •（2 ³ ） ^k -1=4•8 ^k -1
≡4•1 ^k -1=3（mod7）．
所以，当且仅当3|n时，2 ⁿ -1为7的倍数．