Question

积分的意义

Answer 1

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分

可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

的不定积分（或称原函数）是任何满足其导函数是函数的函数。一个函数的不定积分不是唯一的：只要是的不定积分，那么与之相差一个常数的函数也是的不定积分。本条目中主要介绍定积分，不定积分的介绍参见不定积分条目。

积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出，称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于测度论，主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。

Answer 2

本题你漏了积分限，积分限应是[0--->π]

∫[0--->π]

xf(sinx)dx

做变量代换，令x=π-u，则dx=-du，u：π--->0

=-∫[π--->0]

(π-u)f(sin(π-u))du

=∫[0--->π]

(π-u)f(sinu)du

=∫[0--->π]

πf(sinu)du-∫[0--->π]

uf(sinu)du

定积分可随便换积分变量

=∫[0--->π]

πf(sinx)dx-∫[0--->π]

xf(sinx)dx

将-∫[0--->π]

xf(sinx)dx移动等式左边与左边合并得

2∫[0--->π]

xf(sinx)dx=π∫[0--->π]

f(sinx)dx

即：∫[0--->π]

xf(sinx)dx=π/2∫[0--->π]

f(sinx)dx将-∫[0--->π]

xf(sinx)dx移动等式左边与左边合并得

2∫[0--->π]

xf(sinx)dx=π∫[0--->π]

f(sinx)dx

即：∫[0--->π]

xf(sinx)dx=π/2∫[0--->π]

f(sinx)dx

积分的意义

实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。