Question

如何判断三角形的三边长度关系？

Answer 1

1、三角形任意两条边的和大于第三边。

设三角形ABC，求证：AB+BC＞AC。

证明：

延长AB到D，使BD=BC，连接CD。

∵BD=BC，

∴∠D=∠BCD，

∵∠ACD=∠ACB+∠BCD＞∠BCD，

∴∠ACD＞∠D，

∵在△ADC中，∠ACD＞∠D，

∴AD＞AC（大角对大边），

∵AD=AB+BD=AB+BC，

∴AB+BC＞AC。

2、三角形任意两条边之差小于第三边。

设在三角形ABC，若AB＞BC，求证：AB-BC＜AC。

证明：

延长BC到D，使BD=AB，连接AD。

∵BD=AB，

∴∠D=∠BAD，

∵∠CAD=∠BAD-∠BAC=∠D-∠BAC，

∴∠CAD＜∠D

∵在△ACD中，∠CAD＜∠D，

∴CD＜AC（大角对大边），

∵CD=BD-BC=AB-BC，

∴AB-BC＜AC。