Question

3,10,13,23,26......

Answer 1

你的问题应该是 3
10
13
23
36
59
95
154
249
403
652
1055
1707
2762
4469
7231
11700... 你将他们除3后会发现每8个数会重复佢的余数，以上的余数是： 0
1
1
2
0
2
2
1
0
1
1
2
0
2
2
1
0... 你会找到了佢的规律，每8次就重复。 逢8的倍数都是余1，第8、16、24、32、40...都是余1 所以第1000个数字除3的余数是1 (因为1000是8的倍数)
第1000个数字÷3的余数是1
参考: 自己
1 数字是这样组成的︰每1个数字是前2个数字的和。我们尝试列写数字︰3、10、13、23、36、59、95、154、249、403、652、1055、1707、2762、4469、7231、…，观察它们除以3之后的余数，分别是︰[0、1、1、2、0、2、2、1]、[0、1、1、2、0、2、2、1]…，可见余数以8个为一个循环，所以第1000个数字是1000÷8＝125，刚好是第8个余数，即是1。
参考: 我
By observation
A1=3 (by definition) A2=10 (by definition) A3=3+10=13 A4=10+13=26 ... An=A(n-1)+A(n-2) 所以
A1=3 A2=10 A3=3+10 A4=3+10+10 A5=3+3+10+10+10 A6=3+3+3+10+10+10+10+10 换个写法 A1=3*1+10*0 A2=3*0+10*1 A3=3*1+10*1 A4=3*1+10*2 A5=3*2+10*3 A6=3*3+10*5 A7=3*5+10*8 ... An=3*Cn+10*Dn 由此可见，An÷3的余数其实即是(10*Dn)÷3的余数，也即是Dn÷3的余数(因为3*Cn÷3的余数必然是0) D1=0 (by definition) D2=1 (by definition) D3=1 D4=2 D5=3 D6=5 D7=8 D8=13 D9=21 D10=34 D11=55 D12=89 D13=144 D14=233 D15=377 D16=610 D17= ... 这是著名的费氏数列
将数列除以3
取其余数 D1 mod 3=0 D2 mod 3=1 (*) D3 mod 3=1 (*) D4 mod 3=2 (*) D5 mod 3=0 D6 mod 3=2 D7 mod 3=2 D8 mod 3=1 D9 mod 3=0 D10 mod 3=1 D11 mod 3=1 D12 mod 3=2 D13 mod 3=0 D14 mod 3=2 D15 mod 3=2 D16 mod 3=1 D17 mod 3=0 ... By observation
Dn mod 3 follows the sequence 0
1
1
2
0
2
2
1 所以.. D1000 mod 3=1
参考: en. *** /wiki/Fibonacci_Numbers
因f(1)=3 f(2)=10 f(3)=13=f(2)+f(1) f(4)=23=f(3)+f(2) ...... f(1)=0(mod3) f(2)=1(mod3) f(3)=f(2)+f(1)=0+1(mod3)=1(mod3) f(4)=f(3)+f(2)=1+1(mod3)=2(mod3) f(5)=f(4)+f(3)=2+1(mod3)=0(mod3) ......... 其中mod3是指除以3后的余数 注意到除以3后的余数是以下的数列: 0
1
1
2
0
2
2
1
0
1
1
2
0
......... 每8个数循环1次
即项数除以8余1=0 项数除以8余2=1 项数除以8余3=1 项数除以8余4=2 项数除以8余5=0 项数除以8余6=2 项数除以8余7=2 项数除以8余0=1 而1000除以8余0 所以第1000个数字÷3的余数是1