Question

A的伴随矩阵是什么？

Answer 1

A的伴随矩阵仍是正交矩阵。伴随矩阵通常用A*表示。

正交矩阵的充要条件:

A正交<=> A'A = AA' = E <=> A^-1 = A' (其中A'是A的转置矩阵)。

证明:

由A是正交矩阵 AA' = E（E是全是1的同阶矩阵）

而 |A|^2=|A||A'|=|A'A|=|E|=1

所以 |A| = ±1

由 A* = |A|A^-1

所以 A*=±A^-1

所以 (A*)'A* = (±A^-1)'(±A^-1) = (A^-1)'(A^-1)= (A')'A' = AA' =E

所以 A*是正交矩阵。

扩展资料：

伴随矩阵的性质：

（1）A可逆当且仅当A*可逆；

（2）如果A可逆，则

（3）对于A*的秩有：

伴随矩阵的求法：

（1）当矩阵是大于等于二阶时：

主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以

x、y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始。主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以

一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。

（2）当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。

（3）二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。