Question

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1 。 求：

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1 。
求：（1）求椭圆的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，IOPI=λ IOPI，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

Answer 1

你第二问有问题吧？IOPI=λ IOPI？不成立吧？应该是IOPI= λIOMI、且λ为椭圆离心率吧？
如果是的话这道题应该是2009宁夏海南文卷的题、
（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
a-c=1，a+c=7 解得a=4,c=3,所以椭圆C的方程为（x²/16）+（y²/7）=1
（Ⅱ）设M（x,y）,P(x, ),其中 由已知得（x²+y1²）/（x²+y²）=e²
而e=3/4，故16（x²+y1²）=9（x²+y²）…①
由点P在椭圆C上得 y²=（112-7x²）/16；，
代入①式并化简得9y²=112，
所以点M的轨迹方程为y=±4（根号7）/3 ，（-4≤x≤4)
轨迹是两条平行于x轴的线段.

Answer 2

1)焦点在X轴,一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1,则该顶点应在X轴,焦距=7-1=6,设焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0),c=6/2=3,长半轴a=c+1=4,短半轴b=√(a^2-c^2)=√7,椭圆方程为:x^2/16+y^2/7=1.
(2).|OP|/|OM|=λ,设M(x,y),P(x,k),P点与M横坐标相等,k是纵坐标,|OP|=√(x^2+k^2),|OM|=√(x^2+y^2),P在椭圆上,x^2/16+k^2/7=1,
k=√112-7x^2)/4,x^2+(112-7x^2)/16=λ^2(x^2+y^2),点M的轨迹方程为:
x^2/(7(16λ^2-9)/16λ^2+y^2/7=1
当λ>3/4时,为椭圆,λ<3/4时为双曲线.