Question

设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，且g (x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证：

Answer 1

【答案】：用反证法，若存在点c∈(a，b)，使g(c)=0，则对g(x)在[a，c]和[c，b]上可分别应用罗尔定理，知存在ξ₁∈(a，c)和ξ₂∈(c，b)，使
g'(ξ₁)=g'(ξ₂)=0
再对g'(x)在[ξ₁，ξ₂]上应用罗尔定理，知存在ξ₃∈(ξ₁，ξ₂)，使g"(ξ₃)=0,这与题设g"(x)≠0矛盾，故在(a，b)内g(x)≠0$令ψ(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x)
易知ψ(a)=ψ(b)=0，对ψ(x)在[a，b]上应用罗尔定理，知存在ξ∈(a，b)，使ψ'(ξ)=0，即f(ξ)g"(ξ)-f"(ξ)g(ξ)=0,因g(ξ)≠0，g"(ξ)≠0，故得可用反证法证明