Question

如图，已知抛物线y=1/2x^2+bx+c与x轴交于A（-4,0)和B（1,0），与y轴交于C

设E是线段AB上的动点，作EF‖AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍是，求E点的坐标

Answer 1

把A(-4,0)和B(1,0)代入y=1/2x^2+bx+c得
8-4b+c=0
1/盯旁世2 + b+c=0
解得b=3/2，c=-2
∴抛物线解析式为y=(1/2)x²+(3/2)x-2
∴C(0,-2)
作启好EM⊥BC于M
当△CEF和△BEF分别以CF和BF为底边时
两三角形同高，高都是EM。
∵S△凯肢CEF=2S△BEF，
即CF*EM/2=2×BF*EM/2
∴CF=2BF，即BF/CF=1/2
又∵EF‖AC
∴BF/CF=BE/AE=1/2
∵AE+BE=AB=5
∴AE=10/3
∴E(-2/3,0)

Answer 2

：（1）由题意，得：8-4b+c=012+b+c=0​，
解得b=
32c=-2​；
∴y=12x2+32x-2；

（2）由（1）知：C（0，-2）；
则AC2=AO2+OC2=20，BC2=BO2+OC2=5；
而AB2=25=AC2+BC2；
∴△ACB是郑灶直角三角形，且∠ACB=90°；
∵EF∥AC，
∴EF⊥BC；
∵S△CEF=2S△BEF，
∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，
∴BEAB=
BFBC=
13；
∵AB=5，
∴BE=53；
OE=BE-OB=-23，故E（-
23，0）；

（3）设P点坐标为（m，12m2+32m-2）；
已知A（-4，0），C（核胡0，-2），
设直线AC的解析式为：
y=kx-2，
则有：-4k-2=0，k=-12；
∴直线AC的解析式为y=-12x-2；
∴Q点坐标为（m，-12m-2）；
则PQ=-12m-2-（12m2+32m-2）=-12m2-2m；
∴当m=-2，即P（-2，-3）时，PQ最大喊氏扮，且最大值为2．
故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（-2，-3）．