Question

已知三角形ABC中,角A=90度,AB=AC,D为BC中点

已知三角形ABC中,角A=90度,AB=AC,D为BC中点
1.如图,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证;三角形DEF为等腰直角三角形;
2,若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,三角形DEF是否仍为等腰直角三角形?证明.
第二题要完整

Answer 1

(1)证明:连接AD

         在△BDE和△ADF中

    ∵AD=BD(等腰三角形高等于底边长的一半)

           BE=AF(已知)

          ∠B=∠DAC=45°

    ∴△BDE≌△ADF(SAS)

       ∴DE=DF

       ∴∠ADF=∠BDE

       ∵∠BDE+∠ADE=90°

    ∴∠ADF+∠ADE=90°=∠EDF

       ∴△DEF是等腰直角三角形

(2) △DEF是等腰直角三角形

     证明:连接AD

        在△BDE和△ADF中

    ∵AD=BD(等腰三角形高等于底边长的一半)

       ∵AE=CF AB=AC

       ∴  BE=AB+AE=AC+CF

          ∠B=∠DAC=45°

     ∴△BDE≌△ADF(SAS)

         ∴DE=DF

          ∴∠ADF=∠BDE

          ∵∠BAD=∠BDE-∠ADE=∠ADF-∠ADE=∠EDF=90°

      ∴△DEF是等腰直角三角形

Answer 2

证明：（1）
连结AD.因为三角形abc是等腰直角三角形，所以ad=bd。∠ebd=∠daf=45°。在△ebd和△fad中，有af=be，∠fad=∠ebd，ad=bd，故有△fad全等于△ebd。所以∠adf=∠bde，ed=fd。∠edf=∠eda+∠adf=∠eda+∠bde=∠bda=90°。所以△edf为等腰直角三角形。
（2）与（1）类似。在△bed和△afd中，be=af，∠bed=180°-45°=135°=∠dab+∠baf=135°，bd=ad，所以△fad全等于△ebd。所以∠bde=∠fad，ed=fd。∠edf=∠edb+∠bdf=∠fda+∠bdf=90°。
故△def仍为等腰直角三角形。