Question

SinA/cosBcosC=2∫3a²/a²+b²-c²,求角B的大小

Answer 1

根据题意将较为复杂的三角函数式子转化为代数式：

Sina/cosBcosC=Sin^2B/cosC=2∫3 a²/a²+b²-c²

两边同乘cosC，得到：

2a²sin^2B/cosB=2∫3 a²cosC/(a²+b²-c²)cosC

化简可得：

sin^2B/cosB=(a²/(a²+b²-c²))sinC

sin²B/cos²B=1-cos²B/cos²A-cos²C/cos²A

代入得到：

1-cos²B/cos²A-cos²C/cos²A=a²/(a²+b²-c²)sinC

cos²B/cos²A+cos²C/cos²A=1-a²/(a²+b²-c²)sinC

根据余弦定理得到：

cosA=(b²+c²-a²)/2bc

cosB=(a²+c²-b²)/2ac

cosC=(a²+b²-c²)/2ab

代入得到：

cos²B/cos²A+cos²C/cos²A=1-a²/(a²+b²-c²)sinC

化简可得：

(a²-b²)/c²cos²B+(a²-c²)/b²cos²B=1-a²/(a²+b²-c²)sinC

代入得到：

(a²-b²)/c²cos²B+(a²-c²)/b²cos²B=1-(2a²sinC)/(2sinBcosCcosB)

化简可得：

(a²-b²)cos²B+(a²-c²)cos²B=2(a²sin^2B)

(a²-b²+c²)cos²B=2(a²sin^2B)

代入得到：

(a²-b²+c²)cos²B=2a²(1-cos²B)

代入得到：

(a²-b²+c²)cos²B=2a²sin²B

化简可得：

(a²-b²+c²)/a²=2cos²B-1

代入得到：

(a²-b²+c²)/a²=2((a²+c²-b²)/2ac)²-1

可以进一步化简求解得到：

cosB = [c²-(a-b)²]/2ac

注：在上面化简的过程中，涉及到有理三角方程以及有理数的运算，需要使用代数技巧进行变形化简。最终求得cosB的值，再用反三角函数算出角B的大小即可。