Question

作业下列数列是否收敛?若收敛,求其极限(1)1 2 3 42'3'4'5···1 (2)1,-2'

Answer 1

(1) 这个数列不收敛。
首先，我们可以将这个数列表示为两个数列的和：1 + 2 + 3 + ... + n 和 1' + 2' + 3' + ... + n'。其中，n 是任意正整数。
对于第一个数列，它是一个等差数列，其通项公式为 a_n = n。因此，它的和可以表示为：
S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n = (n+1) * n / 2
对于第二个数列，我们可以通过将每个数减去 1 来得到一个新的数列，即 0' + 1' + 2' + ... + (n-1)'。这个数列也是一个等差数列，其通项公式为 a_n = n-1。因此，它的和可以表示为：
S2 = 0 + 1 + 2 + ... + (n-1) = n * (n-1) / 2
将这两个和相加，得到原数列的和：
S = S1 + S2 = n^2
由于 n^2 在 n 趋近于无穷大时趋于无穷大，因此这个数列不收敛。
(2) 这个数列不收敛。
这个数列的绝对值数列为 1, 2, 3, ...，它是一个发散的数列。因此，原数列也不收敛。
注意：由于这个数列中有负数，它并不是一个常见的数列，因此我们需要格外注意其性质。在这个例子中，由于绝对值数列发散，因此原数列也发散。