设实对称矩阵A为m阶正定矩阵，B为m×n实矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n．
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【答案】：必要性：设BTAB为正定矩阵，对任意的n维列向量X≠0有
XT(BTAB)X＞0，即(BX)TA(BX)＞0
于是BX≠0，则BX=0只有零解，所以B的列向量组线性无关，r(B)=n．
充分性：∵(BTAB)T=BTATB=BTAB，所以BTAB为对称矩阵．
当r(B)=n时，BX=0只有零解．即对任意X≠0，BX≠0，由A是正定的，得
XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，
故BTAB为正定矩阵．
XT(BTAB)X＞0，即(BX)TA(BX)＞0
于是BX≠0，则BX=0只有零解，所以B的列向量组线性无关，r(B)=n．
充分性：∵(BTAB)T=BTATB=BTAB，所以BTAB为对称矩阵．
当r(B)=n时，BX=0只有零解．即对任意X≠0，BX≠0，由A是正定的，得
XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，
故BTAB为正定矩阵．
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