Question

【急】若f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x)=-f(x+2/3)

若f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x)=-f(x+2/3)，f（-1）=1.，f（0）= -2 ，则f（1）+f（2）+……+f（2008）=？？
A -2
B 0
C 1
D 2

Answer 1

f(x)是偶函数则f(x)=f(-x)
由f(x)=-f(x+2/3) ①
则f(x+2/3)=-f(x+3) ②
即①代入②得
-f(x)=-f(x+3)
即f(x)=f(x+3)
f(x)的周期为T=3
f(1)=f(-1)=1
f(2)=f(-2)=f(-2+3)=1
f(3)=f(0+3)=f(0)=-2
f(1)+f(2)+f(3)=0
2008/3=669...1
即f（1）+f（2）+……+f（2008）=f(1)=1
选C

Answer 2

由f(x)=-f(x+1.5) 得
f(x+3)=-f(x+1.5))=f(x）说明周期是 3
f(x)是定义在R上的偶函数，f(-x)=f(x)所以
f(1)=f(-1) ,1=f(4)=f(7)=....=f(2008)
f(2)=f(5)=f(8)=...=f(2006)
f(3)=f(6)=f(9)=...=f(2007)=f(0)=-2
f(2)=f(2-3)=f(-1)=f(1)=1
f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2008)=670+669-2*669=1