Question

幂级数是什么？

Answer 1

幂级数（Power Series）是一种用无穷多个幂函数组成的级数。具体来说，幂级数可以表示为以下形式：
f(x) = c0 + c1 * x + c2 * x^2 + c3 * x^3 + …
其中，c0, c1, c2, c3 等是常数系数，x 是变量。幂级数的求和项包含了变量的不同次数的幂。
幂级数可以收敛或发散，具体取决于系数和变量 x 的取值范围。如果对于一个给定的 x 值，幂级数的求和项在无限求和时收敛到一个有限的值，则称该幂级数在该 x 值处收敛。
幂级数在数学中有广泛的应用，特别是在微积分和数学分析中，它们常用于近似函数和展开函数的形式。
常见的幂级数包括泰勒级数和麦克劳林级数，它们是特定函数在某一点的幂级数展开形式。具体的函数可以通过这些级数来近似表示，并基于级数的截断项实现数值计算。

Answer 2

得 f'(x)=∑<n=0,∞>(n+2)x^(n+1), f''(x)=∑<n=0,∞>(n+1)(n+2)x^n,于是，幂级数。

若是，则

记 f(x)=∑<n=0,∞> x^(n+2)=x^2+x^3+x^4+...=x^2/(1-x) (-1<x<1)

得 f'(x)=∑<n=0,∞>(n+2)x^(n+1), f''(x)=∑<n=0,∞>(n+1)(n+2)x^n，

于是，幂级数 ∑<n=0,∞>(n+1)(n+2)x^n 的和函数是

g(x)=f''(x)=[1/(1-x)-(1+x)]''=[1/(1-x)^2-1]'=2/(1-x)^3. (-1<x<1)。

在形式幂级数中，x从来不指定一个数值，且对收敛和发散的问题不感兴趣，感兴趣的是系数序列（a(0),a(1),...,a(n),...），我们研究形式幂级数完全可以归结为讨论这些系数序列，且这些系数序列又可看作含有分量a(0),a(1),...,a(n),...的无穷矢量，系数a(0)称为级数的常数系数。

用近世代数的语言来讲，形式幂级数形成一个环，这个环对加法有零元（用0表示），对乘法有单位元（用1表示），如果从某项以后，形式幂级数的所有系数全为零，它被称为形式多项式。

以上内容参考：百度百科-形式幂级数