Question

数学高手请进

小弟这有道题目未能解决，希望您帮助解答。g(x)=xInx.设0<a<b.证明：0<g(a) g(b)-2g[(a b)/2]<(b-a)In2

Answer 1

g`(x)=Inx+1 （导）
设F（x）=g(a)+g(x)-2g[(a+x)/2]
F`（x）=In[（a+x）/2] 过程你自己去算了。
所以当0<x<a时。F`(x)>0 所以F（x）在(0,a）上单减
当x>a时，F`(x)>0 所以F（x）在(a,+无穷）上单增
所以x=a时，F（x）有最小值F(a)
又因为F(a）=0 【带到F（x）里算
而b>a 所以F（b）>0
所以0<g(a)+g(b)-2g[(a+b)/2

令G（x）=F（x）-（x-a）In2
所以G`（x）=Inx-In（a+x） 【过程自立吧。- -
当x>0时，G`(x)<0 所以G(x)在（0，+无穷）上单减。
因为G（a）=0【依然往上代。
b>a
所以G(b)<0
所以g(a)+g(b)-2g[(a+b)/2]<(b-a)ln2