如何求解线性组合问题的极大无关组?

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2023-06-26 · 专注为您带来别样视角的美食解说
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首先把这个向量组化为行最简形即阶梯矩阵,找到每列非零元素即可,例如:

a1  a2  a3  a4 

1    0    1     0

0    1    1     0

0    0    0     1

0    0    0     0

极大线性无关组即为:a1,a2,a4;a2,a3,a4;a1,a3,a4;a1,a2,a3不是极大无关组。

极大线性无关组是线性空间的基对向量集的推广。设V是域P上的线性空间,S是V的子集。若S的一部分向量线性无关,但在这部分向量中,加上S的任一向量后都线性相关,则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。

V中子集的极大线性无关组不是惟一的,例如,V的基都是V的极大线性无关组。它们所含的向量个数(基数)相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数(基数),称为S的秩。

基本性质:

(1)只含零向量的向量组没有极大无关组;

(2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身;

(3)极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一,但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量;

(4)齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

(5)任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

(6)一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

(7)若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出,则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

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