Question

如何理解用gauss消元法解线性方程组的正确性(从矩阵乘法、线性方程组的“生成

Answer 1

要理解用 Gauss 消元法解线性方程组的正确性，需要从矩阵乘法和线性方程组的“生成”两个方面来考虑。

首先，任何一个线性方程组都可以写成矩阵形式 Ax=b，其中 A 是系数矩阵，b 是常数向量，x 是未知向量。矩阵乘法的基本性质告诉我们，如果对 A 进行一系列初等行变换得到了一个新矩阵 A'，那么同样的一系列初等行变换也可以应用到 b 向量上，得到一个新的向量 b'。这样，原来的线性方程组 Ax=b 就变成了 A'x=b'，而这个新的线性方程组的解与原来的线性方程组的解是相同的。

因此，我们可以通过对系数矩阵进行初等行变换，将原始的线性方程组转化为一个等价的简化形式，进而求得方程组的解。其次，Gauss 消元法的核心思想就是对系数矩阵 A 进行一系列初等行变换，将 A 转化为一个上三角矩阵 U。因为上三角矩阵的行列式等于其主对角线上元素的乘积，所以通过初等行变换得到的上三角矩阵 U 的行列式就等于原始系数矩阵 A 的行列式。由于 A 是非奇异矩阵（即其行列式不为零），因此 U 也是非奇异矩阵，即其行列式不为零。这意味着 U 的主对角线上的元素都不为零，从而可以通过回代求解得到原始线性方程组的解。综上所述，用 Gauss 消元法解线性方程组的正确性可以从矩阵乘法和线性方程组的“生成”两个方面得到解释：通过对系数矩阵进行初等行变换，可以将原始的线性方程组转化为一个等价的简化形式，该简化形式的解与原始线性方程组的解相同；通过对系数矩阵进行初等行变换，可以得到一个上三角矩阵，从而可以通过回代求解得到原始线性方程组的解。