Question

泰勒公式的皮亚诺余项还能用吗？

Answer 1

不能。

• 泰勒公式的皮亚诺余项是o(x^n) 

  x->∞时余项不是x^n的高阶无穷小，而是高阶无穷大，显然不再适用。

x趋于无穷时 x+x的正弦 再整体比x 极限是1，当x趋于无穷时 ，1/x 极限是0，而sinx显然是有界量，利用无穷小量乘有界量仍是无穷小量，因此在x趋于无穷时 (sinx)/x 极限是0而不是1，只有当x趋于0时 (sinx)/x 极限才是1。

使用泰勒公式，需要x非常小，于是x的高次项就更小了，小到可以忽略，才可以使用泰勒公式。所以如果要用，可以做一个变换u=1/x，x趋向于无穷，u趋向于0。

泰勒公式的皮亚诺余项是o(x^n) ，x->∞时余项不是x^n的高阶无穷小，而是高阶无穷大。