Question

已知椭圆中心为坐标原点焦点在x轴上,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于AB两点，向量

已知椭圆中心为坐标原点焦点在x轴上,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于AB两点，向量OA+向量OB与向量a=（3，-1）共线
(1)求椭圆的斜率
（2)设M为椭圆上一点，且向量OM=m向量OA+n向量OB（m,n属于R）求证：m2+n2为定值

Answer 1

第一问应该求的是斜率吧，设想x1，x2.y1，y2.利用等差法得（y1-y2）/(x1-x2)=-(X1+X2)b方/(y1+y2)a方，由题意得（y1-y2）/(x1-x2)=1 (y1+y2)/(x1+x2)=-1/3然后求的3b方=a方，所以有离心率为1/根2.
第二问与第一问有类似之处，叙述比较麻烦，试着自己证明一下吧

Answer 2

行向量与共线向量；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题． 考点：

（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率

（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ 2 +μ 2 的值．

分析：

解：（1）设椭圆方程为 x 2

a 2 + y 2

b 2 =1(a＞b＞0)，F(c，0)

则直线AB的方程为y=x-c，代入 x 2

a 2 + y 2

b 2 =1，

化简得（a 2 +b 2 ）x 2 -2a 2 cx+a 2 c 2 -a 2 b 2 =0． 令A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），

则x 1 +x 2 = 2a 2 c a 2 +b 2 ，x 1 x 2 = a 2 c 2 -a 2 b 2

a 2 +b 2 ．

∵ OA + OB =(x 1 +x 2 ，y 1 +y 2 )， a =(3，-1)， OA + OB 与 a 共线， ∴3（y 1 +y 2 ）+（x 1 +x 2 ）=0，又y 1 =x 1 -c，y 2 =x 2 -c，

∴3（x 1 +x 2 -2c）+（x 1 +x 2 ）=0，

∴x 1 +x 2 = 3 2 c．

即 2a 2 c a 2 +b 2 = 3c 2 ，

所以a 2 =3b 2 ．

∴c= a 2 -b 2 = 6 a 3 ，

故离心率e= c a = 6 3 ．

（II）证明：由（1）知a 2 =3b 2 ，

所以椭圆 x 2

a 2 + y 2

b 2 =1(a＞b＞0)，F(c，0)可化为x 2 +3y 2 =3b 2 ．

设M（x，y）， 由已知得（x，y）=λ（x 1 ，y 1 ）+μ（x 2 ，y 2 ），

∴ x=λx 1 +μx 2 y=λy 1 +μy 2 ∵M（x，y）在椭圆上，

∴（λx 1 +μx 2 ） 2 +3（λy 1 +μy 2 ） 2 =3b 2 ．

即λ 2 （x 1 2 +3y 1 2 ）+μ 2 （x 2 2 +3y 2 2 ）+2λμ（x 1 x 2 +3y 1 y 2 ）=3b 2 ．①

由（1）知a 2 = 3 2 c 2 ，b 2 = 1 2 c 2 ．

∴x 1 +x 2 = 3c 2 ，x 1 x 2 = a 2 c 2 -a 2 b 2

a 2 +b 2 = 3 8 c 2

∴x 1 x 2 +3y 1 y 2 =x 1 x 2 +3（x 1 -c）（x 2 -c）=4x 1 x 2 -3（x 1 +x 2 ）c+3c 2 = 3 2 c 2 -9 2 c 2 +3c 2 =0．

又x 1 2 +3y 1 2 =3b 2 ，x 2 2 +3y 2 2 =3b 2 ，

代入①得λ 2 +μ 2 =1．

故λ 2 +μ 2 为定值，定值为1．

解答：

考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理． 是高考常见题型且是解答题．

把入换成m，u换成n就可以了，