Question

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①设x1,x2是函数f(x)=ax'3/3+bx'2/2-a'2x(a＞0)的两个极值点，且|x1|+|x2|=2,用a表示b,并求b的最大值
②对于数列{an},定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an
1)若数列{an}的通项公式an=5n'2/2-13n/2 求{△an}的通项
2)若数列{an}的首项是1，且△an=an+2'n 求{an}的前n项和Sn

Answer 1

① f(x)=ax^3/3+bx^2/2-a^2x ，(a＞0)
则： f'(x)=ax^2+bx-a^2 。令 f'(x)=0，
即 ax^2+bx-a^2 =0。
因为 x1,x2是函数f(x)的两个极值点，且|x1|+|x2|=2
所以 x1+x2=-b/a ， x1*x2=-a。
由 |x1|+|x2|=2 ，得： (|x1|+|x2|)^2=4，
即 x1^2+x2^2+2|x1*x2|=4，
(x1+x2)^2-2x1*x2+2|x1*x2|=4。
代入 ，得；(-b/a)^2+2a+2a=4，
b^2=4a^2(1-a)，
所以 b=2a√(1-a)。(0<a<=1)
又 b'=2√(1-a)-a/√(1-a)，
令b'=0，即 2√(1-a)-a/√(1-a)=0，
解得：a=2/3。
当 a=2/3时， b=2a√(1-a)=4√3/9。
当 0<a<2/3 时， b'>0；
当2/3<a<1时， b'<0。
所以 a=2/3是 函数 b=2a√(1-a) ，(0<a<=1)的极大值点。
故b的最大值为 4√3/9。
②，1）由 △an=a(n+1)-an=5(n+1)^2/2-13(n+1)/2-5n^2/2+13n/2
=5n-4。
故所求{△an}的通项为： △an=5n-4。
2) 由△an=an+2^n， △an=a(n+1)-an，得：
a(n+1)-2an=2^n
2an-2^2a(n-1)=2^n
2^2a(n-1)-2^3a(n-2)=2^n
·······················
2^(n-1)a2-2^na1=2^n
上面n个等式相加，得：
a(n+1)-2^na1=n*2^n，
又a1=1，所以 a(n+1)=2^n+n*2^n=(n+1)*2^n，
所以 an=n*2^(n-1)。
故所求数列{an}的通项为：an=n*2^(n-1)。
Sn=(n-1)2^n+1。 (利用了错位相消法，可求出）

Answer 2

①.f(x)=ax'3/3+bx'2/2-a'2x
那么f(x)'=ax^2+bx-a^2,两个极值点应该为f(x)'=ax^2+bx-a^2=0这个方程的根
那么由韦达定理可得，x1+x2=-b/a,x1*x2=-a
∵a>0，那么x1*x2=-a<0，∴x1,x2异号，不妨设x1>0,x2<0，那么|x1|+|x2|=x1-x2=2
(x1+x2)^2-4x1*x2=(x1-x2)^2=4=b^2/a^2+4a
∴b=+√[(4-4a)a^2]or-√[(4-4a)a^2]
要求b最大值，-√[(4-4a)a^2]显然比+√[(4-4a)a^2]小，因此只需求后者最大值即可
y=√[(4-4a)a^2]=2√[(1-1a)a^2]
设t==(1-1a)a^2=a^2-a^3，a>0,t'=2a-3a^2=0，从而求得极大值点为a=2/3
代入求得ymax=bmax=(4√3)/9
②1)an=5n^2/2-13n/2,a(n+1)=(5n^2-3n-8)/2
△an=a(n+1)-an=5n-4
2)△an=a(n+1)-an=an+2^n
a(n+1)=2an+2^n，两边同除以2^n可得，a(n+1)/2^n=an/2^（n-1）+1 ，令an/2^（n-1）=bn，那么b(n+1)-bn=1,∴bn为等差数列，a1=1,b1=1,bn=n,代入可得an= n2^(n-1)
Sn=a1+a2+....an=1*2^0+2*2^1+3*2^2+....+ n2^(n-1) ①
2Sn=1*2^1+2*2^2+....+(n-1)2^(n-1)+n2^n ②
②-①=Sn=-1-2^1-2^2-....2^(n-1)+n2^n=-1-(2+2^2+2^3+...+2^(n-1))+n2^n=(n-1)2^n+1
∴Sn=(n-1)2^n+1 (这里使用了错位相消法）