Question

如图，以等腰三角形ABC的腰AB为圆O的直径的圆O交底边BC于点D ，

如图以等腰三角形ABC的腰AB为圆O的直径的圆O交底边BC于点D ，过点D作DE⊥AC，垂足为E，AC交圆O于F点，
求证：(1)弧BD=弧DF
(2)若圆O的半径为5，角BAC=60°，求DE的长（不要用三角函数，没学呢）
已经证明出DE是圆O的切线，谢谢

Answer 1

(1)连BF

则角AFB=角AED=90

所以FB‖ED

又D为BC中点

所以ED为三角形CBF的中位线

所以EF=EC

即ED为FC的垂直平分线

所以FD＝DC＝DB

所以弧BD=弧DF

（2）连OF

角FOB＝120

做OH⊥FB

OH＝2．5

FH＝5／2倍的根号下3

FB＝5倍的根号下3

ED＝FB＝5倍的根号下3

Answer 2

（1）因为三角形ABC为等腰三角形，AB为直径所以∠ADB为90°即D为BC中点
所以∠CAD=∠BAD所以弧BD=弧DF
（2）DE为圆O的切线则∠EDO=90°即CDE+∠ADE=90°
因为∠ADE+∠CDE=90°
所以∠CDE=∠CDE=30°
所以EC=1/2DE=1
所以由勾股定理知
DE=5²-2.5²=5√3/2

Answer 3

连接AD、OD
1、因为OA=OD，所以角OAD=角ODA
因为AB是圆的直径，所以AD垂直BD，又因为AB=AC，所以AD垂直平分BC，得BD=CD，所以OD是三角形ABC的中位线，OD平行AC，因为DE垂直AC，所以OD垂直DE，得DE是圆的切线
得角DFC＝角B，因为角B＝角C，所以角C＝角DFC，得CD＝DF，因为BD＝CD，所以BD＝DF，所以弧BD=弧DF
2、因为角BAC=60度，AB=AC，所以三角形BAC为正三角形，可得三角形CDF是正三角形
所以DE=CD*（根号3/2）=BC*（根号3/4）=AB/（根号3/4）=5*（根号3）/2

Answer 4

连接AD
因为AB是圆O直径
则角ADB=90度，即AD⊥BC
因为AC=AB且角A=60度
所以三角形ABC为等边三角形
所以AD垂直平分BC
所以CD=BD=AB/2=R=5
因为角C=60度，且DE⊥AC
所以角CDE=90度-角C=30度
所以CE=CD/2=5/2
所以DE=√（CD^2-CE^2)=5√3/2

Answer 5

证明，连接DF，BF 则

∵等腰△ABC中，AD垂直BC，
∴CD=BD
∵△CBF中，DE⊥CF，BF⊥CF 切D为BC中点
∴CE=EF
连接DF，
∵△CDF中，DF垂直平分CF，
∴DF=CD
又∵CD=BD
∴BD=DF
∴弧BD=弧DF
（2）
△ABC为等边三角形 AB=10
∵BF⊥AC，
∴AF=CF=5
∵CE=EF
∴CE=2.5
直角△CDE中
DE=√(CD^2-CE^2)=√(25-25/4)=5√3/2