Question

设f(x)是定义在R上的函数集合M={x|f(x)=x},N={x|f(f(x))=x｝

求证M包含于N
若f(x)是R上的增函数,判断M=N是否成立,并证明你的结论

Answer 1

27.设f(x)是定义在R上的函数集合M={x|f(x)=x},N={x|f(f(x))=x｝
1.求证M包含于N
2.若f(x)是R上的增函数,判断M=N是否成立,并证明你的结论
证：1.设任x∈M,则f(x)=x,
∴f[f(x)]=f(x)=x,
∴x∈N,
∴M包含于N。
2.设任y∈N,x=f(y),则f[f(y)]=y，即f(x)=y
若x>y,因f(x)是R上的增函数，故f(x)>f(y),即y>x,矛盾；
同理，若x<y,有f(x)<f(y)，即y<x,也矛盾。
∴x=y,即f(y)=y,
∴N包含于M.
由1，M包含于N，
∴M=N.

Answer 2

⑴证明 对任意M中元素x有f(x)=x,故f(f(x))=f(x)=x, x属于N, 于是M包含于N.
⑵解 设x属于N,则f(f(x))=x,
如果f(x)≥x,由f(x)是R上的增函数得,f(x)≤f(f(x)), 即f(x)≤x,
又f(x)≥x,故f(x)=x,x属于M;
同理如果f(x)≤x,则f(f(x))≤f(x),即x≤f(x),
又f(x)≤x,故f(x)=x,x属于M,于是N包含于M, 又M包含于N,故M=N.

Answer 3

1.设x属于M，f(x)=x
f(f(x))=f(x)=x
则x属于N，M属于N
2.设f(x)=y,x属于N
f(f(x))=f(y)=x,不妨设x>=y由于是增函数
f(x)-f(y)=y-x>=0 x<=y
所以有x=y f(x)=x
则x属于M，N属于M，由第一问M属于N
则M=N