Question

请教一个矩阵的问题

请问一下，如果我有多个矩阵A,B,C，然后还有另外一个矩阵M。所有矩阵列数相同，行数不一定相同。
现在我想找一个行向量n，要求如下：
1）n与A,B,C都不相关。这里的不相关指的是：n只需要分别单独与A,B,C不相关就可以了，而不一定把A,B,C放到一起构成的大矩阵
F=[
A
B
C]
不相关。
2）n与M相关。也就是说，可以利用M中的行向量将n表示出来。

我的问题是：
1）如何判断存不存在这样的一个向量n。
2）如果n存在，应该如何才能把所有满足条件的n找出来。
3）如果n存在，这些n被找出来之后，有没有办法在满足题目要求的情况下，怎样化简可以使n里面包含尽可能多的零0项。

谢谢啊

Answer 1

因为实际上这里的矩阵就是行向量的集合，而向量v和矩阵A={v1, ..., va }相关是指，
v 不属于 span{v1, ..., va}。span表示张成的子空间。所以你的问题可以重新表述为：

在子空间span{M}中找一个向量v，使得v不属于子空间span{A}, span{B}, span{C}。

设M有不相关的m行{v1,..., vm}，使用正交化过程，可以求得子空间M的正交补空间M1。
也就是由n-m个不相关行向量组成的矩阵M1，使得子空间M刚好就是向量方程M1*x=0的解
空间。也就是说span{M} = {x | M1*x = 0 }

同样的，可得到A1, B1, C1使得span{A} = { x | A1*x = 0 }等等。

令A2是span{A}和span{M}的交集，那么A2 = { x | A1*x = M1*x = 0 }.
同样可以得到 B2, C2。问题转化为：

在子空间span{M}中找一个向量v，使得v不属于span{M}的子空间A2, B2, C2.

那么结果就是S={ x | M1*x = 0 且 A1*x非0 且 B1*x非0 且 C1*x 非0 }

只要A2, B2, C2的维数都低于span{M}的维数，就有无穷组解。而如果有一个维数等于
span{M}的维数，就无解。

要使得解向量的元素中包含尽可能多的0，需要检查坐标平面和坐标轴等特殊的子空间
和上面几个子空间的交集（使用上面同样的方法求交集，就是求方程组的解）。先检查
坐标轴（有n-1个0的子空间），再检查n-2个0的子空间。只要这子空间和S的交集非0，
就得到了需要的解。

Answer 2

A为m*n矩阵,由R(A)=n可知A是列满秩矩阵,故A必存在左逆,即存在矩阵C,CA=I,其中C是n*m阶矩阵,I是n阶单位阵,由AB=0,两边左乘C,CAB=C0,IB=0,即得题的结论B=0.
如果你没有左逆的知识,这里可以直接给出矩阵C,矩阵C=(A的转置*A)的逆*A的转置,但这里需要证明n阶矩阵(A的转置*A)是可逆矩阵,由R(A)=n或A是列满秩矩阵不难证明,下面给出证明,反证法,如果(A的转置*A)不是可逆矩阵,即是奇异的,则存在n阶非零向量,使得(A的转置*A)*x=0.x的转置*(A的转置*A)*x=0.
(Ax)的转置*(Ax)=0.从而得Ax=0.这与A是列满秩矩阵矛盾,故(A的转置*A)是可逆矩阵,下面验证C=((A的转置*A)的逆*A的转置)是A的左逆,
CA=(A的转置*A)的逆*(A的转置*A)=I
2

Answer 3

A为m*n矩阵,由R(A)=n可知A是列满秩矩阵,故A必存在左逆,即存在矩阵C,CA=I,其中C是n*m阶矩阵,I是n阶单位阵,由AB=0,两边左乘C,CAB=C0,IB=0,即得题的结论B=0.
如果你没有左逆的知识,这里可以直接给出矩阵C,矩阵C=(A的转置*A)的逆*A的转置,但这里需要证明n阶矩阵(A的转置*A)是可逆矩阵,由R(A)=n或A是列满秩矩阵不难证明,如果(A的转置*A)不是可逆矩阵,即是奇异的,则存在n阶非零向量,使得(A的转置*A)*x=0.x的转置*(A的转置*A)*x=0.
(Ax)的转置*(Ax)=0.从而得Ax=0.这与A是列满秩矩阵矛盾,故(A的转置*A)是可逆矩阵,下面验证C=((A的转置*A)的逆*A的转置)是A的左逆,
CA=(A的转置*A)的逆*(A的转置*A)=I2