Question

导数存在题

设函数f(x)在闭区间[a,b] 上有连续的二阶导数，f(a)=f(b)>m ，其中f(x) 在c∈（a,b）处达到极小值，试证明存在t∈(a,b)使得 f〃(t)≥8[f(a)-m]/(b-a)^2
题目中没有f(c)=m的条件

Answer 1

将f（a）在c处利用泰勒展开至2阶导数
因为f（c）取极小值 那么c点的一阶导数为0
所以 f〃(t)（a-c）^2/2=f(a)-f(c)>=f(a)-m
也很明显的看出 （a-c）^2的最大值就是在c=（a+b）/2的时候
代入即可得证
解题时思路应该很清晰 因为要证明的不等式带有明显的泰勒余项的形式

Answer 2

如果没有f(c)=m
取f(x)=x^2
a=-1 b=1 m=-2 c=0
则f(x)满足题意 f的二阶导数恒为2 这样的话并不存在满足题意的t