Question

设函数f(x)=ax2+bx+1,a大于0，b∈R的最小值为-a，f(x)=0两个实根为x1,x2. 1.求x1-x2的值 2.

设函数f(x)=ax2+bx+1,a大于0，b∈R的最小值为-a，f(x)=0两个实根为x1,x2.
1.求x1-x2的值
2.若关于x的不等式f(x)＜0解集为A，函数f(x)+2x在A上不存在最小值，求a的取值范围；
3.若-2＜x1＜0，求b的取值范围。

Answer 1

1，函数f(x)=ax^2+bx+1=a(x+b/2a)^2+1-b^2/4a，(a>0)
最小值为-a 。
即： 1-b^2/4a=-a，
化简，得：b^2-4a=4a^2。
f(x)=0的两个实根为x1，x2，
即 方程 ax^2+bx+1=0 有两个实根为x1，x2，
所以 x1+x2=-b/a， x1x2=1/a。
故 (x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=(-b/a)^2-4/a
=(b^2-4a)/a^2
=4a^2/a^2=4。
所以x1-x2的值为2，或-2。
2，不等式f(x)＜0解集为A={x| x1<x<x2} ， (不防设x1<x2)
函数f(x)+2x在A上不存在最小值，
即 函数 f(x)+2x=ax^2+(b+2)x+1
的顶点不在开区间A上。
即 -(b+2)/2a<x1，或 -(b+2)/2a>x2，
所以 x2-x1< 2(b+2)/2a=(b+2)/a，
又因为 x2-x1=2，（已设x1<x2）
所以 2< (b+2)/a，
由 a>0 ，可得： b>2a-2。
由 b^2-4a=4a^2，可得：
b^2=4a^2+4a=(2a+1)^2-1，
所以 (2a+1)^2-1>(2a-2)^2，
(2a+1)^2-(2a-2)^2>1，
3(4a-1)>1，
4a-1>1/3，
a>1/3。
故所求a的取值范围为：a>1/3。
3，-2＜x1＜0，则：由x1-x2=-2，或 x1-x2=2，
可知：0<x2<2，或 -4<x2<-2。
所以-2<x1+x2<2，或 -6<x1+x2<-2，
所以 -2<-b/a<2，或 -6<-b/a<-2。
由 a>0 ，可得：
-2a<b<2a，或 2a<b<6a。
故所求b的取值范围为：-2a<b<2a，或 2a<b<6a。
再考虑x1x2=1/a 可求出 a 的取值范围，留给你自己去做吧！

Answer 2

f(x)=ax²+bx+1=a(x+b/2a)²+1-b²/4a；根据最小值为-a得1-b²/4a=-a,所以b²=4a²+4a——①
1、(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(a/b)²-4/a=(b²-4a)/a²=4,所以x1-x2=2；
2、函数f(x)+2x=ax²+bx+2x+1=a(x+（b+2）/2a)²+1-（b+2）²/4a
函数在A上不存在最小值，所以有-(b+2)/2a<(-b-√b²-4ac)/2a或-(b+2)/2a>(-b+√b²-4ac)/2a
（解释下，不存在最小值，即最低点不在两根之间，即函数f(x)+2x对称轴不在原函数两根之间）
解得a>1
3、函数最小值为-a，且a>0，故方程必有两不相同的根
若x1<x2
则-2<(-b-√b²-4ac)/2a<0，解得2a>b>-2a
若x1>x2
则-2<(-b+√b²-4ac)/2a<0，解得6a>b>2a

（整个过程注意代入式b²=4a²+4a——①化简）