Question

已知x=3是函数f(x)=(x^2+ax-2a-3)e^(3-x)的极值点。 （1）求f（x）的单调区间（用a表示） （2）设a>0,g(x)

（2）设a>0,g(x)=(a^2+8)e^x,若存在属于x1,x2[0,4]使得|f(x1)-g(x2)|<3成立，求a的取值范围。

Answer 1

【考题21】 设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x R)的一个极 值点.
(Ⅰ)求a与b的关系式（用a表示b）,并求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)设a>0,g(x)= .若存在 [0，4]使得|f( 成立，求a的取值范围.

【分析1】 研究“已知”函数的单调区间，题目的面孔不陌生，其亲近感远远超过了本卷第15题和第19题.
当然，毕竟是压轴题，“已知”中安插了2个未知的参数，使问题绕了2道弯. 于是，利用给定的条件“消参”，成了解题的切入口.
【解答1】 (Ⅰ) f ’(x)= -[x2+(a-2)x+b-a]e3-x
由 f ’(3)=0得b=-2a-3.
所以f(x)=(x2+ax-2a-3)e3-x,
f ’(x)=- [x2+(a-2)x-3a-3]e3-x = -(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f ’(x)==0得x1=3,x2=-a-1.
由于x=3是f(x)的极值点，故x1≠x2,即a≠-4.
当a<-4时，x1<x2.
故f(x)在（-∞，3 上为减函数，在[3，-a-1]上为增函数，在[-a-1,+∞ 上为减函数.
当a>-4时，x1>x2.故f(x)在（-∞,-a-1 上为减函数，在[-a-1,3]上为增函数，在[3,+∞ 上为减函数.
【点评1】 为研究单调区间而想到导数，这点不难. 利用x=3为一极值点消去参数b也不难，求导后找函数的“稳点”也不难.
本题难在对参数a进行区域划分. 因此，本题的能力考查正落实到了“划分讨论”的数学思想上.
【分析2】 第（Ⅱ）问中的a是第（Ⅰ）问中a缩小范围.要求参数a的取值范围，通过解a的不等式（组）而得，这个不等式又由两个函数f（x）和g(x)而来，故使得问题有一定综合性. 要注意的是，第（Ⅱ）问是在第（Ⅰ）问的基础上进行的，应充分利用第（Ⅰ）题的结果.
（Ⅱ） 当a>0时，-a-1<0,故f(x)在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，因此f(x)在[0，4]上的值域为min{f(0),f(4),f(3)}=[-(2a+3)e3，a+6].
而g(x)=(a2+ )ex在[0，4]上为增函数，所以值域为[a2+ ].
注意到(a2+ )-(a+6)=(a- )2≥0,
故由假设知 解得0<a< .
故a的取值范围是（0， ）.
【点评】 函数、导数、参数三位一体，与不等式构成综合大题，函数的基础性、导数的应用性. 参数的创意性和不等式的工具性，彼此结合得当，渗透自然，毫无刀砍斧劈的人为痕迹.
内容主干，背景正宗，迁移有度，层次分明. 数学家从中看到了数学，教育家从中看到了教材，考试学家从中看到了考题的信度、难度和区分度. 这是近三年来湖北自主命题中较为成功的一道好题.

Answer 2

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