Question

急求数学问题

204．（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D(0， )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
不能用三角函数
不能用三角函数

Answer 1

⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k
∵顶点C的横坐标为4，且过点(0， )
∴y=a(x-4)2+k ………………①
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6
∴A(1，0)，B(7，0)
∴0=9a+k ………………②
由①②解得a= ，k=
∴二次函数的解析式为：y= (x-4)2－
⑵∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM‖OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴ ∴
∴点P的坐标为(4， )
⑶由⑴知点C(4， )，
又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM= ，
∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N
如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o
∴QN=3 ，BN=3，ON=10，
此时点Q(10， )，
如果AB=AQ，由对称性知Q(-2， )
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，
此时点Q的坐标是(4， )，
经检验，点(10， )与(-2， )都在抛物线上
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为(10， )或(-2， )或(4， )．

Answer 2

二次函数的图象经过点D(0，7/9根号3 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k
∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，7/9根号3 )
∴y=a(x-4)^2+k 7/9根号3=16a+k ………………①
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6
∴A(1，0)，B(7，0)
∴0=9a+k ………………②
由①②解得a= （根号3）/9，k= 负根号3
∴二次函数的解析式为：y= （根号3）/9(x-4)^2－ 根号3

⑵∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM‖OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴ PM/DO=BM/BO
∴ PM=(7/9根号3 x3)/7=根号3/3
∴点P的坐标为(4，根号3/3 )
⑶由⑴知点C(4，负根号3 )，
又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM= 根号3/3 ，
∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N
如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o
∴QN=3 ，BN=3，ON=10，
此时点Q(10，3根号3 )，
如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，3根号3 )
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，
此时点Q的坐标是(4，负根号3 )，
经检验，点(10，3根号3 )与(-2，3根号3 )都在抛物线上
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为(10，3根号3 )或(-2，3根号3 )或(4，负根号3 )