Question

对于任意的x∈R,不等式2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0恒成立。则实数a的取值范围是__________

对于任意的x∈R,不等式2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0恒成立。则实数a的取值范围是__________

Answer 1

如果式子恒成立，那么他的B方-4AC大于0。
式子中，A=2-2分之a,B=0,C=3-2分之a.即
0-4*（2-2分之a）*(3-2分之a)>0
0-4*（6-a-2分之3a+4分之a方）>0
0-24+4a+6a+a方>0
a方+10a-24>0
（a-4）（a-6）>0
所以范围为a大于6或者小于4

Answer 2

要原不等式恒成立，即a<(2x^2+3)/(x^2+1)^1/2恒成立，
那么a必须小于(2x^2+3)/(x^2+1)^1/2的最小值，此题也就转化为了求(2x^2+3)/(x^2+1)^1/2的最小值。
(2x^2+3)/(x^2+1)^1/2=(2x^2+2+1)/(x^2+1)^1/2
=(2x^2+2)/(x^2+1)/1^2+1/(x^2+1)/1^2
=2(x^2+1)/1^2+1/(x^2+1)/1^2
>=2[2(x^2+1)/1^2*1/(x^2+1)/1^2]^1/2
=2*(2^1/2)
所以(2x^2+3)/(x^2+1)^1/2的最小值为2*(2^1/2)
所以a的范围为a<2*(2^1/2)