Question

设a为非负实数，函数f(x)=x|x-a|-a。 1、当a=2时，求函数的单调区间 2、讨论函数y=f(x)的零点个数

Answer 1

1.f(x)=x|x-2|-2
={x(x-2)-2=(x-1)^2-3,(x>=2);
{x(2-x)-2=-(x-1)^2-1,(x<2).
增区间是(-∞，1）或（2，+∞），
减区间是(1,2).
2.f(x)=x|x-a|-a=0,
x|x-a|=a,①
a=0时x=0,零点个数为1；
a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;
0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;
a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;
a>4时，②无实根，零点个数为1。
a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；
x<a时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;
a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;
a<-4时③无实根，零点个数为1.
综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；
a=土4时，零点个数为2；
-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.

Answer 2

1、f(x)=x|x-2|-2
当x>=2时f(x)=x(x-2)-2=(x-1)^2-3，单调增
当x<2时f(x)=x(2-x)-2=-(x-1)^2-1，x<1单调增，1<x<2单调减
最后将两个区间单调性合并说一下就行了
2、f(x)=x|x-a|-a
当x>=a时f(x)=x(x-a)-a=(x-a/2)^2-a-a^2/4
当x<a时f(x)=x(a-x)-a=-(x-a/2)^2-a+a^2/4
然后就分很多情况
1.a>0时画图像然后分析与X轴的交点个数
2.a=0时两时在分析
3.a>0时再次画图分析

Answer 3

解：（Ⅰ）当a=2时，f(x)=x|x-2|-2=
x2-2x-2，x≥2-x2+2x-2，x＜2​，①当x≥2时，f（x）=x2-2x-2=（x-1）2-3，
∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；
②当x＜2时，f（x）=-x2+2x-2=-（x-1）2-1，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在（-∞，1）上单调递增；
综上所述，f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．
（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=x|x|，函数y=f（x）的零点为x0=0；
（2）当a＞0时，f(x)=x|x-a|-a=
x2-ax-a，x≥a-x2+ax-a，x＜a​，
故当x≥a时，f(x)=(x-
a2)2-
a24-a，二次函数对称轴x=
a2＜a，
∴f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0；
当x＜a时，f(x)=-(x-
a2)2+
a24-a，二次函数对称轴x=
a2＜a，
∴f（x）在(
a2，a)上单调递减，在(-∞，
a2)上单调递增；
∴f（x）的极大值为f(
a2)=-(
a2)2+a×
a2-a=
a24-a，
1°当f(
a2)＜0，即0＜a＜4时，函数f（x）与x轴只有唯一交点，即唯一零点，
由x2-ax-a=0解之得函数y=f（x）的零点为x0=
a+
a2+4a2或x0=
a-
a2+4a2（舍去）；
2°当f(
a2)=0，即a=4时，函数f（x）与x轴有两个交点，即两个零点，分别为x1=2和x2=
a+
a2+4a2=2+2
2；
3°当f(
a2)＞0，即a＞4时，函数f（x）与x轴有三个交点，即有三个零点，
由-x2+ax-a=0解得，x=
a±
a2-4a2，
∴函数y=f（x）的零点为x=
a±
a2-4a2和x0=
a+
a2+4a2．
综上可得，当a=0时，函数的零点为0；
当0＜a＜4时，函数有一个零点，且零点为a+
a2+4a2；
当a=4时，有两个零点2和2+2
2；
当a＞4时，函数有三个零点a±
a2-4a2和a+
a2+4a2．

Answer 4

1、直接代进去，，X分大于还是小于二就可以化简求单调区间了。2、的话就要看当F（X）等于零的时候有多少个解，也就是与X轴有多少个交点，分情况来解试试，前面的应该有用，解题思路就是这样的，希望对你有所帮助。。。

Answer 5

解：（Ⅰ）当a=2时，f(x)=x|x-2|-2=
x2-2x-2，x≥2-x2+2x-2，x＜2​
，①当x≥2时，f（x）=x2-2x-2=（x-1）2-3，
∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；
②当x＜2时，f（x）=-x2+2x-2=-（x-1）2-1，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在（-∞，1）上单调递增；
综上所述，f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=x|x|，函数y=f（x）的零点为x0=0；
（2）当a＞0时，f(x)=x|x-a|-a=
x2-ax-a，x≥a-x2+ax-a，x＜a​
，
故当x≥a时，f(x)=(x-
a2
)2-
a24
-a，二次函数对称轴x=
a2
＜a，
∴f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0；
当x＜a时，f(x)=-(x-
a2
)2+
a24
-a，二次函数对称轴x=
a2
＜a，
∴f（x）在(
a2
，a)上单调递减，在(-∞，
a2
)上单调递增；
∴f（x）的极大值为f(
a2
)=-(
a2
)2+a×
a2
-a=
a24
-a，
1°当f(
a2
)＜0，即0＜a＜4时，函数f（x）与x轴只有唯一交点，即唯一零点，
由x2-ax-a=0解之得函数y=f（x）的零点为x0=
a+a2+4a2
或x0=
a-a2+4a2
（舍去）；
2°当f(
a2
)=0，即a=4时，函数f（x）与x轴有两个交点，即两个零点，分别为x1=2和x2=
a+a2+4a2
=2+2
2
；
3°当f(
a2
)＞0，即a＞4时，函数f（x）与x轴有三个交点，即有三个零点，
由-x2+ax-a=0解得，x=
a±a2-4a2
，
∴函数y=f（x）的零点为x=
a±a2-4a2
和x0=
a+a2+4a2
．
综上可得，当a=0时，函数的零点为0；
当0＜a＜4时，函数有一个零点，且零点为
a+a2+4a2
；
当a=4时，有两个零点2和2+2
2
；
当a＞4时，函数有三个零点
a±a2-4a2
和a+a2+4a

Answer 6

按x>2和x<2两种情况作出图象.

Answer 7

1）当a=2时，f(x)=x²-ax-a=x²-2x-2(x≥2），此时-b/2a=1,所以f(x)在(-∞,1]递减，在[1,+∞)递增，又因为x≥2，所以此时f(x)在[2,+∞)递增
或：f(x)=-x²+ax-a=-x²+2x-2(x<2),此时-b/2a=1，所以f(x)在(-∞,1]递增，在[1,+∞)递减,又因为x<2，所以此时f(x)在(-∞,1]递增，在[1,2)递减
综上，f(x)在(-∞,1]∪[2,+∞)递增，在[1,2)递减
2忘了