Question

正整数n次幂的个位数

正整数的正整数次幂的个位数字是有规律的.正整数a的个位数为0,1,5,6时,a^n的个数仍为0,1,5,6;a的个应数是4,9时,a的指数每增加2,幂的个位数字就重复出现;a的个位数为2,3,7,8时,指数每增加4,幂的个位数字就重复出现,一般来说:
若:a^k的个位数是a,则a^4m+k的末位数也是a(k为正整数,m为非负整数).
例1 求2003^2005的个位数字.
解:2003^2005=2003^4×501+1.
因为2003^1的个位数与3^1的个位数字相同.所以2003^2005的个位数字是3.
例2 求满足方程x^5=656356768的整数x.
解:∵10^5是6位数.100^5=10^10是11位数.
因为x^5是9位数.所以10<x<100.可见x为两位数:
因为x5的个位数字与x的个位数相同.因此x的个位数字是8.
因为5^5=3125。6^5=7776.
∴312500000=50^5<656,356,768<60^5=777600000.
由此可知:x的十位数字只能是5,进而知x=58.

问题：
1.求2^2008的个位数字。

2.求满足方程x^5=1419857的整数x。

Answer 1

1.
2^2008 = 2^(501*4+4)
个位数与2^4的个位数相同
2^4 = 16
所以2^2008个位数是6

2.
10^5 < 1419857 <100^5
即x为两位数
x^5 = x^(1*4+1)
即x^5的个位数与x^1相同
所以x的个位数为7
100000=10^5 < 1419857 < 20^5=3200000
所以x=17