Question

数学 已知，如图，三角形ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，在BD上取一点P，使BP=AC，在CE的延长线上

已知，如图，三角形ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，在BD上取一点P，使BP=AC，在CE的延长线上取一点Q，使得CQ=AB，连接AP,AQ,(1)角ABC的度数（2)那么AQ与AP有什么关系？说明理由
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Answer 1

角BEP=CDP=90°，
角EPB=DPC（对角相等）
所以角EBP=角DCP＝角ECA
又因为角BEP=角CEA=90°
边BP＝AC（已知）
所以三角形EBP＝三角形ECA（角角边）
所以有BE=EC
又因为CE垂直BE，
所以三角形BEC是等腰直接三角形，
所以角EBC即角ABC＝45°

因为AB=CQ（已知）
角ABP(即EBP)=QCA(即DCP)(已证)
BP=AC（已知）
所以三角形ABP全等于三角形QCA
所以AQ=AP

Answer 2

证明：AQ=AP且AQ⊥AP

∵BD和CE是△ABC的高

∴∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠ACE=90°

∴∠ABD=∠ACE

∵BP=AC,AB=CQ

∴△ABP全等于△QCA

∴AQ=AP

∠BAP=∠Q

∵∠Q+∠QAE=90°

∴∠BAP+∠QAE=90°

∴AQ⊥AP