Question

高数三题，急急急！！

1、连续函数f(x)满足f(x)=f(2a-x)(a≠0),为任意常数，则区间[-c,c]上定积分∫f(a-x)dx=
2、函数f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0，f(1)=1。证明区间[0,1]上∃ε、η，使1/f(ε) +1/f(η)=2.
3求级数和，见附图。
一楼1题肯定错了，没这个选项，我设特征函数选了[0,c]上2∫f(a-x)dx；2题不知道题对不对，据说是回忆版试卷，我也得到f(ε) +f(η)=2；3题是对的哈，和我一样，麻烦大侠再仔细考虑以下前两题。
1题条件只给的是个对称函数而已啊，得不出奇偶性。

Answer 1

1.f(a+x)=f(2a-(a+x))=f(a-x)-------------------------------------(1)
I=∫[-c,c]f(a-x)dx=∫[-c,0]f(a-x)dx+∫[0,c]f(a-x)dx
设y=-x
I=-∫[c,0]f(a+y)dy+∫[0,c]f(a-x)dx------------------------------(2)
从(1),(2)
I=∫[0,c]f(a-y)dy+∫[0,c]f(a-x)dx=2∫[0,c]f(a-x)dx
2.
函数f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0，f(1)=1,
区间[0,1]上∃ε、η，使(f(ε)=1,f(η)=1 ==>
1/f(ε) +1/f(η)= [f(ε) +f(η) ]/ (f(ε)*f(η))=2
函数f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0，f(1)=1,区间[0,1]上∃z,f(z)=1/2
中值定理,区间[0,z]上∃ε, f'(ε)=[f(z)-f(0)]/(z-0)=f(z)/z=1/(2z)
中值定理,区间[z,1]上∃ε, f'(η)=[f(1)-f(z)]/(1-z)=(1-f(z))/(1-z)=1/[2(1-z)]
1/ f'(ε)+1/f'(η)=2z+2(1-z)=2
3.
用夹逼准则，原数列为1/(n^2 +1)+ 2/(n^2 +2)+.......+n/(n^2 +n)
>1/(n^2 +n)+2/(n^2 +n)+.....+n/(n^2 +n)=1/2。（也就是把分母都变成(n^2 +n) ）。
另一方面,原数列<1/(n^2) +2/(n^2) +......+n/(n^2)=(n^2 +n)/2(n^2)。（把分母都变成n^2）。
把放缩后的两个数列同时取极限，极限值均为1/2，所以原极限值为1/2。

Answer 2

如图，第一题没有答案，a都不一定在【-c,c】之间

第二题你给的错了，分析原因如图

第三题如图

Answer 3

驭日，你好：
1，由f(x)=f(2a-x)知，令x=x'+a，则有f(x'+a)=f(a-x')，故知f(x+a)为偶函数，则∫f(a-x)dx=2∫(0,c)f(a+x)dx. 此题先是得到f(x)关于x=a对称，则左平移a单位后，成为偶函数，然后有刚才的结论，这种曲线，你不妨想象为正态分布那个曲线类似，只不过是标准正态曲线各右平移a单位的结论，再平移回去也一样。具体值算不出来的。
2，当ε，η∈[0，1]时，[f(ε)-f(0)]/ε=f(a)'，[f(η)-f(1)]/(η-1)=f(b)'，我不再写下去了，既然你已经找到f(ε) +f(η)=2，你就已经证出来了，令ε＝η，则f(ε) ＝f(η)＝1，故1/f(ε) +1/f(η)=2，成立，这是个存在性的证明，而且也没要求ε≠η，当然可以如此构造。第二问我看了二楼的，他的第一个前提就错了，凭什么有1/f(x)>1,笑话！谁说就有f(x)不能小于零，二楼的擅自改变结论，套用了一个考研试题，如果真是你的那个题，则简单得多了。有问题可以找我讨论。这个分我要定了。
3，夹逼准则，我就不写了，你们都已经写出来了。

Answer 4

第三题 可以用夹逼准则，原数列为1/(n^2 +1)+ 2/(n^2 +2)+.......+n/(n^2 +n)>1/(n^2 +n)+2/(n^2 +n)+.....+n/(n^2 +n)=1/2。（也就是把分母都变成(n^2 +n) ）。
原数列<1/(n^2) +2/(n^2) +......+n/(n^2)=(n^2 +n)/2(n^2)。（把分母都变成n^2）。
把放缩后的两个数列同时取极限，极限值均为1/2，所以原极限值为1/2。

第一题 把x换成a+x代入原式，得f(a+x)=f(a-x)，可见f(a-x)为偶函数， 偶函数在对称区间(-c，c)上的积分=2倍(0，c)上的积分，但具体值算不出来。
如果把条件改成f(x)=-f(2a-x)，还是把x换成a+x代入，可得f(a+x)=-f(a-x)，这回 f(a-x)为奇函数，奇函数在对称区间上的积分值为0。

Answer 5

1.把x换成a+x代入原式，得f(a+x)=f(a-x)，可见f(a-x)为偶函数
即f(a+x)=f(2a-(a+x))=f(a-x
I=∫[-c,c]f(a-x)dx=∫[-c,0]f(a-x)dx+∫[0,c]f(a-x)dx
设y=-x
I=-∫[c,0]f(a+y)dy+∫[0,c]f(a-x)dx从(1),(2)
I=∫[0,c]f(a-y)dy+∫[0,c]f(a-x)dx=2∫[0,c]f(a-x)dx
2.
函数f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0，f(1)=1,
区间[0,1]上∃ε、η，使(f(ε)=1,f(η)=1 ==>
1/f(ε) +1/f(η)= [f(ε) +f(η) ]/ (f(ε)*f(η))=2
函数f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0，f(1)=1,区间[0,1]上∃z,f(z)=1/2
中值定理,区间[0,z]上∃ε, f'(ε)=[f(z)-f(0)]/(z-0)=f(z)/z=1/(2z)
中值定理,区间[z,1]上∃ε, f'(η)=[f(1)-f(z)]/(1-z)=(1-f(z))/(1-z)=1/[2(1-z)]
1/ f'(ε)+1/f'(η)=2z+2(1-z)=2
3.
用夹逼准则，原数列为1/(n^2 +1)+ 2/(n^2 +2)+.......+n/(n^2 +n)
>1/(n^2 +n)+2/(n^2 +n)+.....+n/(n^2 +n)=1/2。（也就是把分母都变成(n^2 +n) ）。
另一方面,原数列<1/(n^2) +2/(n^2) +......+n/(n^2)=(n^2 +n)/2(n^2)。（把分母都变成n^2）。
把放缩后的两个数列同时取极限，极限值均为1/2，所以原极限值为1/2。