设锐角三角形abc的内角a,b,c的对边分别为A,B,C,且A=2Bsina 求cosa-sinc的取值范围
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A=2Bsina，根据正弦定理得：sina=2sinbsina,
Sinb=1/2.
因为三角形是锐角三角形，所以b=30°，a+c=150°.
cosa-sinc=cos(150°-c) -sinc=cos150°cosc+sin150°sinc-sinc
=-√3/2 cosc+1/2 sinc-sinc
=-√3/2 cosc-1/2 sinc
=-sin(c+60°)
∵a+c=150°，a、c都是锐角，∴60°<c<90°，
120°<c+60°<150°，
∴1/2<sin(c+60°) <√3/2
-√3/2<-sin(c+60°) <-1/2
所以cosa-sinc的取值范围是(-√3/2, -1/2).
Sinb=1/2.
因为三角形是锐角三角形，所以b=30°，a+c=150°.
cosa-sinc=cos(150°-c) -sinc=cos150°cosc+sin150°sinc-sinc
=-√3/2 cosc+1/2 sinc-sinc
=-√3/2 cosc-1/2 sinc
=-sin(c+60°)
∵a+c=150°，a、c都是锐角，∴60°<c<90°，
120°<c+60°<150°，
∴1/2<sin(c+60°) <√3/2
-√3/2<-sin(c+60°) <-1/2
所以cosa-sinc的取值范围是(-√3/2, -1/2).
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