Question

已知，AB为⊙O的直径，点E为弧AB任意一点，如图，AC平分∠BAE，交⊙O于C，过点C作CD⊥AE于D，与AB的延长线

已知，AB为⊙O的直径，点E为弧AB任意一点，如图，AC平分∠BAE，交⊙O于C，过点C作CD⊥AE于D，与AB的延长线交于P.（1）求证：PC是⊙O的切线.（2）若∠BAE=60°，求线段PB与AB的数量关系。

Answer 1

1）通过角平分线和有两半径为边的三角形是等腰三角形可得到OC‖AD，再证明OC⊥CD．
（2）先得到△ACB是含30°的直角三角形，找到AB=2BC，再证明BC=BP即可．解答：解：（1）连OC，BC，如图，
∵∠1=∠2，而∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA．
∴AD‖OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
∴PC是⊙O的切线．

（2）若∠BAE=60°，则∠1=30°，∠P=30°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°．
∴∠3=60°，则△OBC为等边三角形，即BC= AB．
而∠3=∠P+∠4，所以∠4=30°，
∴BC=BP．
∴PB= AB．

Answer 2

（1）通过角平分线和有两半径为边的三角形是等腰三角形可得到OC‖AD，再证明OC⊥CD．
（2）先得到△ACB是含30°的直角三角形，找到AB=2BC，再证明BC=BP即可．解答：解：（1）连OC，BC，如图，
∵∠1=∠2，而∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA．
∴AD‖OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
∴PC是⊙O的切线．

（2）若∠BAE=60°，则∠1=30°，∠P=30°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°．
∴∠3=60°，则△OBC为等边三角形，即BC= AB．
而∠3=∠P+∠4，所以∠4=30°，
∴BC=BP．
∴PB= AB．