Question

数学求解（请详解具体过程）

如图，AB为圆O的一条长为4cm的弦，p为圆O上的一动点，cos∠APB=1/3，问是否存在以A,P,B为顶点的面积最大的三角形，试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积。

Answer 1

圆内任意弦的垂直平分线都过圆心
△ABP的高是P到AB的距离
易知P在AB垂直中线上时高为最大
底边不边
所以可求最大三角形面积
△ABP是等边三角形
cos(∠PAB+∠PBA)=cos(2∠PAB)
=cos(π-∠APB)
=-cos∠APB
=-1/3
又cos(2∠PAB)=(cos∠PAB)^2-(sin∠PAB)^2
=1-2(sin∠PAB)^2
=-1/3
求得
sin∠PAB=√6/3
cos∠PAB=√3/3
tan∠PAB=√2
设AB的中点为G
AG=2cm
PG=AG×tan∠PAB
=2√2 cm
S△ABP=1/2×4×2√2
=4√2 (cm²)

Answer 2

解：存在。
过圆心做AB 弦的垂线与圆的交点P，交AB于D,三角形ABP即为最大值，PA=PB,∠PAB=∠PBA.
cos∠APB=1/3
(cos1/2∠APB)^2=1/2(1+cos∠APB)
cos1/2∠APB=√6/3
∠APB+∠PBA+∠PAB=180°
1/2(∠APB+∠PBA+∠PAB=180°,∠PAB=∠PBA.
1/2∠APB+∠PBA=90°
cos1/2∠APB=sin∠PBA=√6/3
cos∠PBA=√3/3 ,即：AD/AP=√3/3 ,AB=4 AD=2，AP=2√3，PD=2√2
SPAB=1/2*AB*PD=1/2*4*2√2=4√2

Answer 3

用我的回答
△ABP的高是P到AB的距离
易知P在AB垂直中线上时高为最大
底边不边
所以可求最大三角形面积
△ABP是等边三角形
cos(∠PAB+∠PBA)=cos(2∠PAB)
=cos(π-∠APB)
=-cos∠APB
=-1/3
又cos(2∠PAB)=(cos∠PAB)^2-(sin∠PAB)^2
=1-2(sin∠PAB)^2
=-1/3
求得
sin∠PAB=√6/3
cos∠PAB=√3/3
tan∠PAB=√2
设AB的中点为G
AG=2cm
PG=AG×tan∠PAB
=2√2 cm
S△ABP=1/2×4×2√2
=4√2 (cm²)