Question

已知二次函数y=ax^2+bx+3的图像与x轴相交于点A、C,与y轴相交于点B,A(-9/4,0),且△AOB~△BOC

在线段AC上是否存在点N（m,0）。使得线段BM为直径的圆于边BC交于P点（与点B不同），且就点P，C，O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值：若不存在 ，请说明理由。

Answer 1

解:令x=0,得B(0,3), Y=0,x1=-9/4,(△>0)利用根与系数关系 C点(4/(3a),0)及a 与b的关系;又知△AOB~△BOC,得AC垂直 BC,两直线斜率相乘为-1,联立方程组,可确定系数a,b
假设存在,分两种情况,P为顶点,(特殊情况),演证一下即可;C为顶点,利用几何关系,可判断△NPB为直角三角形,NP垂直BC,找出N点,从而得出m值,m的取值范围(0,4/(3a))

Answer 2

情况1：若OC=PC, 因为BC=5, 所以BP=5-4=1，显然此时该圆与x轴无交点或不在线段AC上，不存在N点；
情况2：若OC=OP=4, 显然P点不在线段BC上
情况3：若PO=PC,若则可知P点坐标为(2,1.5)
又有圆心坐标为(m/2,1.5), 设圆方程为(x-m/2)^2+(y-1.5)^2=r^2, 其中(2r)^2=3^2+m^2=9+m^2
将点(2,1.5)代入原方程，解得m=7/8

Answer 3

B(0,3)
A(-9/4,0)
代入得
27a-12b+16=0
C(2/3a,0)

M(m,0)
O(m/2,3/2)
圆方程
(x-m/2)^2+(y-3/2)^2=(m/2)^2+9/4
化简
x(x-m)+y(y-3/2)=0
BC方程
y=(-9a/2)x+3
求P(p,-4.5ap+3)