Question

关于线性代数的一个问题。

Eij 属于 Mn,（Mn指n阶方阵）
[Eij]rs = 1 当 r = i , s = j
= 0 其他 r,s.
然后{E11,E12...，E1n,E12,...,En2,...,En1,...,Enn}构成了所有Mn构成的集合的一组基，称作E。
然后Ta是一个从Mn到Mn的线性变换，Ta(X)=AX,A属于Mn;
求“the matrix of Ta with respect to E”(我也不是很明白这句话指的具体是哪个matrix)
求详细解答，急。

Answer 1

这是求线性变换Ta在基{E11,E12...，E1n,E12,...,En2,...,En1,...,Enn}下的矩阵
A=(aij),AE=a11E11+a21E21+......+an1En1;其他依次类推，即可写出一个n^2×n^2阶矩阵

Answer 2

[Eij]rs = 1 当 r = i , s = j
= 0 其他 r,s.
E is identity matrix(单位矩阵)
Ta(X)=X

Answer 3

【分析】
AAT为实对称矩阵，因为（AAT）T = AAT
如果 AAT为正定矩阵，那么 |AAT| ＞ 0

【解答】
AAT为 n×n阶矩阵
1、若r（A）=r ＜min（n，m）
r（AAT）≤r（A）＜min（n，m）≤n， 所以|AAT| = 0

2、若n＞m，r（A）=m，r(AAT)≤r（A）=m＜n ，所以|AAT| = 0

3、若n＜m，r（A）=n，对于齐次线性方程组ATx=0 ，r（AT）=n，只有零解。
任意的x≠0，ATx ≠ 0，则 xT(AAT)x =（ATx)T ATx ＞ 0
所以AAT正定，所以|AAT|＞0

综上所述，|AAT|≥0

【评注】
设A为n×m矩阵，且r（A）=m＜n，则ATA为正定矩阵。（注意和本题区分）
正定矩阵的特征值都大于零，其行列式大于零。

当A为实对称矩阵时，行列式|A|＞0，就考虑到从正定矩阵角度来解答。

newmanhero 2015年2月10日20:54:33

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 4

呵呵, 线性变换Ta在基E下的矩阵如图所示, 若需详细过程, 可消息我你的邮箱, 我发给你